GRE数学知识点梳理:奇数偶数

2019-06-04 09:50:11来源:新东方 马雨

  奇数偶数(odd and even numbers)虽然非常基本,不过也有一些地方需要大家注意:

来源:新东方 马雨

  1.在整数范围内,可以被2整除的数字是偶数,不能被2整除的是奇数,比如8/2=4,-2/2=-1,那么8和-2就是偶数;

  2.奇数偶数可以小于0,0属于偶数(odd and even numbers are not necessarily positive);

  3.奇数可以用(2k+1)来表示、偶数可以用(2k)来表示,这里的k属于任意整数;

  4.奇偶数之间有如下运算规律:

  odd+odd=even

  odd+even=odd

  even+even=even

  odd*odd=odd

  odd*even=even

  even*even=even

  加减乘的运算规律可以直接通过带数方式进行验证,当然也可以用上面“3”的方法证明,不过除法运算可能会出问题,建议多试几组,最好利用乘法运算规律反推,如:

  even/even假如等于integer,结果可奇可偶,因为奇数或者偶数和even 相乘都等于even

  5.由于gre考试没有需要书写证明过程的题目,所以也可以使用试数的方法解题,尤其是比大小的题型,如果带入几个代表性的数值,发现有的时候quantity a is greater, 有时quantity b is greater, 那么就可以选择最后一个选项(the relationship cannot be determined from the information given.)

  上题:

  1. If n is a positive odd number, what is remainder when (n^2-1) is divided by 8?

  Select all the numbers that apply.

  A. 0

  B. 1

  C. 2

  D. 4

  2. If x and y are integers and xy^2 is a positive odd integer, which of the following must be true?

  A. xy is positive

  B. xy is odd

  C. (x^2)(y^2) is even

  D. x+y is even

  E. x+y is negative

  3. If a and b are both positive integers, and the results of a-b and a/b are both even numbers. Which of the following must be an odd integer?

  A. a/2

  B. a/2

  C. (a+b)/2

  D. (a+2)/2

  E. (b+2)/2

  三道题答案分别是:

  1. A

  2. B D

  3. D

  分析:

  对于第一题,如果是一道单选题,那就简单了,因为单选意味着答案唯一,而在这种情况下我们进行带数,就只需要带一个进去进行计算,所得到的结果,就是正确答案。虽然这么做并没有解释缘由,但却是非常有效的应试策略。

  哪怕是不定项选择题,大家多带几个数,发现结果一直是某一个结果,基本上就可以确定了。

  当然,保险起见就需要证明,而利用的就是奇数可以用(2k+1)进行表示。

  令n=2k+1

  n^2-1

  =(2k+1)^2-1

  =4k^2+4k

  =4k(k+1)

  k和(k+1)必定是两个连续的整数,因此一奇一偶,而只要有偶数,再和4相乘,那就一定是8的倍数

  所以除以8余数为0.

  第二题难度一般,主要利用奇偶性的运算规律。

  如果x*y^2 is positive odd integer, and y^2 must be positive, then x must be a positive integer. 如果最终乘积是odd integer, then x and y must be odd integers. 因此对于a e选项,判定结果的正负性就是有问题的,其他选项大家自行推倒。

  第三题难度较高,不过大家也可以使用带入数值的方法进行解决。而带数的重要前提就是一定满足题干要求。

  比如a=4, b=2, choice a and e are even numbers, so they must be the wrong choices.

  比如a=8, b=4, choice b and c are even numbers, so they must also be the wrong choices.

  所以正确答案就一定是d了

  多数同学对于这道题很难证明,所以带数是一种性价比比较高的解题方法。

  注:带第二对儿数的时候可能有同学带8和2,仍然没有排除剩下两个错误选项,此时可以有目的性地带入:比如b选项b/2, 如果b=4, 8 or 16 就很容易被排掉,不过还要注意,须同时找到满足题意的a 和 b

  证明方法:a-b=even, 说明a 和 b 同奇偶

  a/b=even, 说明两个数只能同为偶数

  再次利用第二个条件,a/b=even, 说明a=b*even=even*even=2t*2k=4tk

  也就是说a must be a multiple of 4

  那么对于第四个选项(a+2)/2=(a/2)+1=2tk+1=odd number.


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