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GRE数学正态分布题解析

2018-10-30 10:14:00来源:网络

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  正态分布题

  1. 先给出基本概念:

  1.1正态分布,又称高斯分布,指变量的频数或频率呈中间最多,两端逐渐对称地减少,表现为钟形的一种概率分布。它是概率统计中最重要的一种分布,也是自然界最常见的一种分布。一般说来,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布。

  1.2若随机变量X服从一个数学期望为μ(本题中等于均值a)、标准方差为 的高斯分布,记为:X∽ N(a, 2),则其概率密度函数为:

  正态分布的均值a决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。曲线关于x=a的虚线对称, 决定了曲线的“胖瘦”,因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线,如图所示:

  1.3高斯型随机变量的概率分布函数,是将其密度函数取积分,即其中,表示随机变量A的取值小于等于x的概率。如A的取值小于等于均值a的概率是50%。

  1.4通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布,即令图1中的曲线a=0, , 就得到了标准正态分布,曲线如图。

  对于一般的正态分布,可以通过变换,归一化到标准的正态分布,算法为:

  设原正态分布的期望为a,标准方差为 ,欲求分布在区间(y1, y2)的概率,可以变换为求图3中分布在(x1, x2)间的概率。其中x与y的对应关系如下:

  例如,若一正态分布a=9, 区间为(5, 11),则区间归一化后得到(-2,1),即通过这种归一化方法就可以用标准正态分布的方法判断结果。

  2. 本次考试中正态分布题的解法:

  有一射击队,人数600人,对其射击结果打分,结果服从正态分布,得到算数平均分为84分,标准方差为5,假定分数大于90分的概率为k%; 另一射击队,人数400人,对其射击结果打分,结果服从正态分布,得到算数平均分为80分,标准方差为3,假定分数大于86分的概率为n%; 问k和n谁大?

  解:第一组X∽ N(84,25);第二组Y∽ N(80,9)。

  现在,比较k和 n,即比较k% = P(A>90)和 n% = P(B> 86)的大小。

  归一化以后,

  P(A>90)=P标准(A>(90-84)/5)= P标准(A>6/5);

  P(B>86)=P标准(A>(86-80)/3)= P标准(A>6/3);

  上述概率大小为 图中阴影部分的面积,所以最后k 大于 n.

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